La fonction exponentielle (2024)

Sommaire

Généralités
Limites
Lien avec la fonction ln
Dérivée
Intégrale et primitive
Sujets de bac
Intérêt de la fonction exponentielle

Introduction
Nous allons découvrir une fonction TRES sympathique : la fonction exponentielle !
Cette fonction se note ex ou exp(x), mais cette deuxième notation est moins courante.
Dans les 2 cas on dit « exponentielle de x », « exponentielle x » ou « e de x ».

Généralités
Commençons par tracer la courbe de la fonction :

La fonction exponentielle (1)

A partir de la courbe on peut voir pas mal de choses intéressantes.
Tout d’abord la fonction exponentielle est STRICTEMENT POSITIVE !

\(\textstyle e^x \gt 0 \)

Cela va être très pratique quand on aura à faire des tableaux de signe par exemple, ou pour trouver le signe d’une fonction.

Par ailleurs, la fonction exponentielle est STRICTEMENT CROISSANTE. On va également s’en servir par la suite.

On voit également sur la courbe le point A qui est intéressant, il nous dit que :

\(\textstyle e^0 = 1 \)

Ceci est très logique. Pourquoi ? Parce qu’en fait, quand on dit ex, cela signifie en réalité « e puissance x », ce pourquoi le x est en haut. « e » correspond en fait à un nombre qui vaut 2,71828182845… Ce nombre est un peu comme Pi, c’est une constante qui ne se finit jamais !
Donc e0 veut dire « e puissance 0 », ce qui vaut 1 car « n’importe quoi » puissance 0 vaut toujours 1 !


Attention ! Beaucoup d’élèves disent e1 = 0, ce qui est archi-faux !
Ils confondent avec la fonction ln, où là oui ln(1)=0, mais pour la fonction exponentielle c’est l’inverse, c’est e0=1 La fonction exponentielle (2)

La fonction exponentielle a également d’autres propriétés à connaître :

\(\textstyle e^x \,\times\,e^y=e^{x + y} \)

\(\textstyle \frac{e^x}{e^y}=e^{x-y} \)

\(\textstyle e^{-x} = \frac{1}{e^x} \)

\(\textstyle (e^x)^n = e^{x \times n } \)

Par exemple :

\(\displaystyle e^8 \times e^{2x} = e^{8 + 2x} \)

\(\displaystyle e^{2x + 3} = e^{2x} \times e^3 \)

\(\displaystyle ({e^x})^3 = e^{3x} \)

\(\displaystyle \frac{e^3}{e^{8x}} = e^{3 – 8x} \)

\(\displaystyle e^{3x – 7} = \frac{e^{3x}}{e^7} \)

\(\displaystyle e^{-6} = \frac{1}{e^6} \)

\(\displaystyle \frac{1}{e^{-4}} = e^4 \)

Tu auras remarqué que quand on passe l’exponentielle en-dessous ou au-dessus de la fraction, on change le signe de ce qu’il y a à l’intérieur de l’exponentielle !
Facile non ? La fonction exponentielle (3) C’est trop simple même je dirais La fonction exponentielle (4)

Fais ces exercices d’application des formules de la fonction exponentielle pour bien maîtriser ces calculs.

Limites

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Parlons limite maintenant !
On voit facilement avec la courbe que :

\(\displaystyle \lim_{x \to – \infty} e^x = 0 \)

\(\displaystyle \lim_{x \to + \infty} e^x = +\infty \)

La seule difficulté ici, c’est quand on a des fonctions composées, mais cela reste assez simple !
Voici quelques exerccies sur les limites de fonctions composées pour s’entraîner.

De plus, il faut connaître deux limites particulières :

\(\displaystyle \lim_{x \to + \infty} \frac{e^x}{x} = +\infty \)

\(\displaystyle \lim_{x \to – \infty} xe^x = 0 \)

Normalement ces deux limites sont des formes indéterminées, ce pourquoi il faut les apprendre par coeur. Mais il y a un moyen simple de les retenir : tu fais comme si il n’y avait pas x, mais seulement ex !

\(\displaystyle \lim_{x \to + \infty} \frac{e^x}{x} = \lim_{x \to + \infty} e^x = +\infty \)

\(\displaystyle \lim_{x \to – \infty} xe^x = \lim_{x \to – \infty} e^x = 0 \)

Cela vient du fait que ex «domine» x, c’est-à-dire que x est négligeable devant ex, ce pourquoi on fait comme si il n’y avait pas de x.
On retrouve la même propriété pour la fonction ln, sauf que là c’est ln qui est négligeable devant x, donc on fait comme si il n’y avait pas de ln.

A noter que ces propriétés sont vraies pour toutes les puissances de x, donc x2, x3, x4, x5
Exemple :

\(\displaystyle \lim_{x \to + \infty} \frac{e^x}{x^4} = +\infty \)

\(\displaystyle \lim_{x \to + \infty} \frac{e^x}{x^{17}} = +\infty \)

\(\displaystyle \lim_{x \to – \infty} x^9 e^x = 0 \)

\(\displaystyle \lim_{x \to – \infty} x^{65} e^x = 0 \)

Lien avec la fonction ln

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Voyons à présent une fonction que l’on trouve souvent avec exponentielle : la fonction ln !
Pour plus de précisions sur cette fonction, va voir le cours sur la fonction ln
Mais quel est le rapport avec exponentielle ?
Et bien tout simplement :

\(\displaystyle e^{ln(x)} = x \)

De même

\(\displaystyle ln(e^x) = x \)

Les deux fonctions «s’annulent» entre elles. C’est ce qu’on appelle des fonctions réciproques.
D’accord c’est bien beau tout ça mais ça sert à quoi ?
A plein de choses ! La fonction exponentielle (5) Notamment à résoudre des équations ou inéquations avec des exponentielles .

Par exemple, si on veut résoudre :

\(\displaystyle 3 \, < \, e^x \)

on applique la fonction ln, et on ne change pas le sens de l’inégalité car la fonction ln est croissante !!!!!

\(\displaystyle ln(3) \, < \, ln(e^x) \)

\(\displaystyle ln(3) \, < \, x \)

De même, si on a

\(\displaystyle ln(x)\, < \,7 \)

on applique la fonction exponentielle, et on ne change pas le sens de l’inégalité car la fonction exp est croissante !!!!!

\(\displaystyle e^{ln(x)}\, <\, e^7 \)

\(\displaystyle x\, <\, e^7 \)


ATTENTION ! Note bien qu’il faut absolument justifier comme on vient de le faire en disant que la fonction ln ou exponentielle est croissante, il serait bête de perdre des points à cause de ça, surtout que les professeurs adorent quand tu justifies, mais détestent quand tu ne justifies pas La fonction exponentielle (6)


Attention également ! Quand tu justifies, tu peux dire «car la fonction exponentielle est croissante». Mais bien sûr si tu appliques une autre fonction comme la fonction racine, il faut également justifier !
Il y a alors une rédaction à connaître que tu peux utiliser pour toutes les fonctions. Tu dis :
«car x |— > ex est croissante»
Il ne faut surtout pas oublier le trait vertical avant le trait horizontal !!
En fait, cela signifie «la fonction qui à x associe ex» , autrement dit la fonction exponentielle.
Ne dis surtout pas ex est croissante !!! Tout simplement parce que ex est un nombre, ce n’est pas une fonction. Et un nombre croissant ça ne veut pas dire grand chose…
De même, tu peux dire :
«car x |— > ln(x) est croissante»
«car x |— > √x est croissante»etc…

Tu retrouveras tous ces détails dans les vidéos
Comme tu le vois, c’est très simple ! Entraîne toi avec ces exerccies sur les inéquations

Dérivée

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La fonction exponentielle a également une autre propriété TRES sympathique qui va nous faciliter la vie :
la dérivée de ex est… ex ! Quand on dérive ex, on retrouve la même fonction !

\(\displaystyle (e^x)’ = e^x \)

Il faut faire cependant attention aux fonctions composées !! Si tu n’en t’en souviens plus, va voir le chapitre sur les dérivées composées. Regardons quelques exemples :

\(\textstyle g(x) = e^{x^2 + 3x – 4} \)

C’est une fonction composée de type eu, avec u = x2+3x-4
La dérivée de eu est u’ x eu.

\(\displaystyle (e^u)’ = u’ \times e^u \)

Ici u’ = 2x+3, donc

\(\textstyle g'(x) = (2x + 3)\, \times \,e^{x^2 + 3x – 4} \)

C’est comme d’habitude, on dérivé normalement et on multiplie par u’ ! Rien de méchant^^
Rappelle toi juste que la dérivée de eu est u’ × eu ! Avec le temps et quelques exerccies sur les dérivées composées ça deviendra tout naturel La fonction exponentielle (7)

Intégrale et primitive

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Et pour terminer, voyons les intégrales avec des exponentielles ! Regarde d’abord le cours sur les intégrales avant de lire cette partie, sinon tu risques de ne rien comprendre La fonction exponentielle (8)
La dérivée de ex étant ex, la primitive de ex est évidemment ex ! La fonction exponentielle (9)

\(\textstyle \int\limits_a^b e^x dx = [e^x]_a^b = e^b – e^a \)

Par contre quand on a des fonctions composées, c’est-à-dire eu, ca se complique La fonction exponentielle (10)
En fait, la primitive de u’ × eu est eu !! Si tu as eu, il faut donc faire apparaître u’ devant.

\(\textstyle \int\limits_a^b u’\times e^u dx = [e^u]_a^b = e^{u(b)} – e^{u(a)} \)

Voyons un petit exemple :

\(\textstyle A = \int\limits_4^5 e^{2x + 8} dx \)

On a eu avec u = 2x + 8 donc u’ = 2. Il faut donc faire apparaître 2 !
Comment on fait ? Et bien on multiplie par 2 en haut et en bas !
On a donc

\(\textstyle A =\int\limits_4^5 \frac{2}{2} \times e^{2x + 8} dx \)

Il n’y a que le 2 du haut qui nous intéresse, pas celui du bas, et comme c’est une constante, on peut le sortir de l’intégrale !

On a donc

\(\textstyle A = \frac{1}{2} \int\limits_4^5 2 \times e^{2x + 8} dx \)

et là on a bien u’ × eu !!
Donc

\(\textstyle A = \frac{1}{2} [e^{u}]_4^5 \)

\(\textstyle A = \frac{1}{2} [e^{2x + 8}]_4^5 \)

\(\textstyle A = \frac{1}{2} (e^{2\times 5 + 8}-e^{2\times 4 + 8}) \)

\(\textstyle A = \frac{1}{2} (e^{18}-e^{16}) \)


Attention, ne pas oublier le 1/2 devant l’intégrale !! Il faut sortir les constantes qui ne servent pas à calculer la primitive comme le ½ ici par exemple, mais il ne faut pas oublier de les mettre dans la suite du calcul !!

Cette partie étant parfois délicate, n’hésite pas à t’entraîner un peu avec ces exercices sur les intégrales d’exponentielle

Sujets de bac

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Pour voir si tu as assimilé tout le chapitre, rien de tel que de faire des sujets de bac en vidéo !
Essaye de les chercher et de les faire tout seul avant de regarder la correction La fonction exponentielle (11)

Tu trouveras également sur cette page tous les exercices sur la fonction exponentielle !

Intérêt de la fonction exponentielle
La fonction exponentielle est une fonction de référence qu’il faut absolument maîtriser car on la retrouve dans de nombreux domaines et de nombreux chapitres !!

Tout d’abord en physique, on la trouve dans la radioactivité, puisque la loi de décroissance radioactive est exponenentielle. On retrouve aussi cette fonction en électricité pour la charge et la décharge d’un condensateur notamment.

En mathématiques, cette fonction est utilisée dans les équations différentielles, la solution des équations du 1er ordre étant une fonctionn exponentielle.
Dans les complexes, la fonction exponentielle sert à exprimer les points du plan d’une certaine manière.
Les probabilités comportent également des fonctions exponentielles pour certaines lois de probabilité.
Enfin, elle sert comme on l’a vu dans certaines équations avec la fonction ln.
Il y a bien sûr d’autres applications de la fonction ln, mais celles-ci sont celles que tu verras en terminale !

Bon et bien voilà, c’est tout ce que tu as à savoir sur la fonction exponentielle ! Il faut surtout retenir ses propriétés avec les calculs, car on retrouve souvent cette fonction dans les intégrales, les études de fonctions, les équations différentielles…

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La fonction exponentielle (2024)
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