Kreis berechnen - Fläche Umfang Radius Durchmesser (2024)

Hier dreht sich alles um den Kreis: Definitionen, Formeln und Berechnungen für den Radius, den Durchmesser, den Kreisumfang und dieKreisfläche mit unterschiedlichen Größeneinheiten. Mit unserem Rechners für die Kreisberechnungkönnen Sie alle wichtigsten Kreiseigenschaften berechnen.

Alles Wichtige zum Thema Kreis

Inhalt

  • Definition Kreis
  • Kreis Formeln
  • Kreis Radius
  • Kreis Durchmesser
  • Kreis Umfang
  • Kreis Fläche
  • Beispiele zur Kreisberechnung

Definition Kreis

Ein Kreis ist eine geometrische Figur und ist definiert als die Menge aller Punkte einer Ebene, die den gleichenAbstand zu einem Punkt M, dem Mittelpunkt des Kreises, haben. Dieser Abstand jedes Punktes auf der Kreisliniebzw. auf dem Kreisrand zum Mittelpunkt des Kreises wird als Radius bezeichnet. Der Kreis ist mathematischeine Kurve und damit eindimensional. Meist wird der Kreis aber als zweidimensionale Fläche bzw. Kreisscheibeinterpretiert,welche durch die Kreislinie umschlossen wird.

Wichtigte Eigenschaften eines Kreises sind sein Radius, der Kreisdurchmesser, der Umfang des Kreises sowie die Kreisfläche.Die Berechnung dieser Kreiseigenschaften und deren Umrechnung anhand von Kreisformeln kann mit dem Kreis-Rechner bequemdurchgeführt werden und wird im Folgenden weiter vertieft.

Was ist die Zahl Pi?

Im Zusammenhang mit Berechnungen und Formeln für den Kreis und die Kreisberechnung treffen wir immer wieder auf Pi bzw. dengriechischen Buchstaben π. Die Kreiszahl Pi entspricht -unabhängig von der Größe eines Kreises- dem exaktenVerhältniss des Kreisumfangs zum Durchmesser. Pi hat dabei unendlich viele Nachkommastellen und beginnt mit 3,1415926.Der Umfang eines Kreises ist also immer rund 3,14 mal größer als sein Durchmesser.

Wie lauten die Kreis Formeln?

  • Durchmesser: d = 2 × r
  • Radius: r = ½ × d
  • Umfang: U = 2 × r × π oder U = d × π
  • Fläche: A = r² × π oder A = (d² × π)/4 = ¼ × d² × π

Eingabehilfe zum Kreis-Rechner für die Berechnung von Radius, Durchmesser, Umfang und Fläche

Der Rechner zur Kreisberechnung enthält mehrere Eingabefelder, welche im Folgenden genauer erläutert werden:

Größeneinheit

Wählen Sie hier die passende Größeneinheit aus, um diese für die einzelnen Eingabefelder anzuzeigen. Auswählen könnnenSie mm, cm, dm, m,und km.

Und so funktioniert der Rechner:Sie können im Folgenden ein beliebiges Eingabefeld ausfüllen. Die übrigen Werte werden dann anhand der Formeln für dieKreisberechnung berechnet und ausgefüllt.Die Hilfetexte für Radius, Durchmesser, Umfang und Fläche enthalten stets die aktuelle Herleitung der aktuellen Berechnung.Sobald Sie wieder einen der Werte ändern, wird eine erneute Berechnung der übrigen Werte und eine Aktualisierung der Hilfetextezur Herleitung der neuen Berechnung durchgeführt.

Radius

Geben Sie bitte den Radius an, um den Durchmesser, den Umfang und die Fläche des Kreises zu berechnen.Die Hilfetexte der berechneten Kreiseigenschaften werden dabei aktualisiert, so dass sie die entsprechende Kreisformelsowie die Herleitung der Berechnung vom eingegebenen Radius zur jeweiligen Eigenschaft enthalten.

Durchmesser

Geben Sie bitte den Durchmesser an, um den Radius, den Kreisumfang und die Kreisfläche zu berechnen.Die damit aktualisierten Hilfetexte der berechneten Kreiseigenschaften enthalten dann die zugehörige Berechnungsformelsowie die Berechnungsherleitung vom eingegebenen Durchmesser zur jeweiligen Eigenschaft.

Umfang

Geben Sie bitte den Umfang an, um den Radius, den Durchmesser und die Fläche des Kreises zu berechnen.Die Hilfetexte der berechneten Kreiseigenschaften werden aktualisiert und enthalten je eine konkrete Herleitung der aktuellenBerechnung, also vom Umfang zum Radius, zum Durchmesser bzw. zur Kreisfläche.

Fläche

Geben Sie bitte eine Fläche an, um Radius, Durchmesser und Umfang des Kreises zu berechnen.Auch hier werden bei der Berechnung von Radius, Durchmesser und Kreisumfang deren Hilfetexte so aktualisiert, dassjeweils die Herleitung der Umrechnung nachvollzogen werden kann.

Skizze

Die Skizze zeigt Ihnen die jeweils ausgewählte Kreiseigenschaft an. So können sie sich ein Bild davon machen, wie der Radius,der Durchmesser, der Kreisumfang und die Kreisfläche definiert sind.Die Anzeige wechselt, sobald Sie ein Eingabefeld zu den Kreiseigenschaften anklicken oder einen dazu gehörenden Hilfe-Button auswählen.

Der Radius eines Kreises

Wie bereits beschrieben, ist ein Kreis definiert als die Menge aller Punkte in der Ebene mit gleichem Abstand zu einem Punkt M, demMittelpunkt des Kreises. Dieser Abstand von der Kreismitte zum Kreisrand ist der Radius.

Definition Radius

Kreis berechnen - Fläche Umfang Radius Durchmesser (7)

Als Radius r oder auch Halbmesser wird der Abstand zwischen dem Mittelpunkt M eines Kreises und der Kreislinie bezeichnet.

Kreis Durchmesser

Definition Kreisdurchmesser

Kreis berechnen - Fläche Umfang Radius Durchmesser (8)

Der Kreisdurchmesser d bzw. ⌀ ist die Länge der Verbindungsstrecke zweier Punkte der Kreislinie durch den Kreismittelpunkt M.

Der Durchmesser ist damit der größtmögliche Abstand zweier Punkte der Kreislinie.

Formel Kreisdurchmesser

Der Durchmesser d entspricht dem zweifachen Radius r

d = 2 × r

Kreis Umfang

Definition Kreisumfang

Formel Kreisumfang

Der Kreisumfang U wird berechnet, indem man den Durchmesser d mitder Zahl Pi (π = 3,1415...) multipliziert.

U = d × π

Kreis Fläche

Definition Kreisfläche

Kreis berechnen - Fläche Umfang Radius Durchmesser (10)

Als Kreisfläche A wird die von der Kreislinie umschlossene Fläche bezeichnet.

Formel Kreisfläche

Die Kreisfläche A wird berechnet, indem man das Quadrat des Radius r mit Pi (π = 3,1415...) multipliziert.

A = r² × π

Beispiele zur Kreisberechnung

Die vier auf dieser Seite beschriebenen Kreiseigenschaften Radius, Durchmesser, Umfang und Fläche können alle durch Angabe eineseinzigen Wertes der jeweils anderen Eigenschaft berechnet werden.Möchte man z.B. die Kreisfläche berechnen, kann dies jeweils anhand einer der anderen drei Eigenschaften, also anhand des Radius,des Durchmessers oder des Kreisumfangs erfolgen.

Wir zeigen Ihnen im Folgenden daher jeweils drei Beispiele für die Berechnung des Radius anhand der anderen drei Eigenschaften,für die Berechnung des Durchmessers, für die Berechnung des Umfangs und für die Berechnung der Kreisfläche anhandder jeweils anderen drei Kreiseigenschaften.

1. Kreisradius berechnen

Die folgenden drei Beispiele zeigen die Berechnung des Radius mittels der Kreiseigenschaften Durchmesser, Umfang und Kreisfläche.

Wie berechnet man aus dem Durchmesser den Radius?

Kreis berechnen - Fläche Umfang Radius Durchmesser (11)

Gegeben sei ein Durchmesser d von 20cm. Gesucht ist der Radius r.

Berechnung

Der Radius r entspricht dem halben Durchmesser d, also r=d/2.

Setzt man die im Beispiel gewählten 20cm für den Durchmesser d ein, beträgt der Radius des Kreisesr=20cm/2=10cm.

Wie berechnet man aus dem Kreisumfang den Radius?

Kreis berechnen - Fläche Umfang Radius Durchmesser (12)

Gegeben sei ein Kreisumfang U von 30cm. Gesucht ist der Radius r.

Berechnung

Die Formel für den Umfang lautet U=2×r×π.Stellt man diese Formel nach r um, so entspricht der Radius r der Hälfte der Division aus Umfang geteilt durch Pi (π = 3,1415...), alsor=U/π/2.

Setzt man die im Beispiel gewählten 30cm für den Umfang U ein, beträgt der Radius des Kreisesr=30cm/π/2=4,77cm.

Wie berechnet man aus der Kreisfläche den Radius?

Kreis berechnen - Fläche Umfang Radius Durchmesser (13)

Gegeben sei eine Kreisfläche A von 100cm&sup2. Gesucht ist der Radius r.

Berechnung

Die allgemeine Formel für die Kreisfläche A lautet A=r²×π.Stellt man diese Formel nach r um, so entspricht der Radius r der Wurzel des Ergebnisses von Kreisfläche A geteiltdurch Pi (π = 3,1415...), also r=A/π.

Setzt man die im Beispiel gewählten 100cm² für die Fläche A ein, beträgt der Radius des Kreisesr=100cm/π=5,64cm.

2. Kreisdurchmesser berechnen

Folgende Beispiele zeigen die Berechnung des Durchmessers anhand der Kreiseigenschaften Radius, Umfang und Kreisfläche.

Wie berechnet man aus dem Radius den Durchmesser?

Kreis berechnen - Fläche Umfang Radius Durchmesser (14)

Gegeben sei ein Radius r von 10cm. Gesucht ist der Durchmesser d.

Berechnung

Der Durchmesser d entspricht dem zweifachen Radius r, also d=2×r.

Setzt man die im Beispiel gewählten 10cm für den Radius r ein, beträgt der Durchmesser des Kreisesd=2×10cm=20cm.

Wie berechnet man aus dem Kreisumfang den Durchmesser?

Kreis berechnen - Fläche Umfang Radius Durchmesser (15)

Gegeben sei ein Kreisumfang U von 30cm. Gesucht ist der Durchmesser d.

Berechnung

Die Formel für den Umfang lautet U=d×π.Stellt man diese Formel nach d um, so entspricht der Durchmesser d der Division aus Umfang geteilt durch Pi (π = 3,1415...), alsod=U/π.

Setzt man die im Beispiel gewählten 30cm für den Umfang U ein, beträgt der Durchmesser des Kreisesd=30cm/π=9,55cm.

Wie berechnet man aus der Kreisfläche den Durchmesser?

Kreis berechnen - Fläche Umfang Radius Durchmesser (16)

Gegeben sei eine Kreisfläche A von 100cm&sup2. Gesucht ist der Durchmesser d.

Berechnung

Die allgemeine Formel für die Kreisfläche A lautet A = r² × π.Da der Durchmesser d dem zweifachen Radius r entspricht, gilt demnach die FormelA=(d/2)²×π.Stellt man diese Formel nach d um, so entspricht der Durchmesser d der zweifachen Wurzel aus der Division von Kreisfläche Ageteilt durch Pi (π = 3,1415...), alsod=2×A/π.

Setzt man die im Beispiel gewählten 100cm² für die Fläche A ein, beträgt der Durchmesser des Kreisesd=2×100cm/π=11,28cm.

3. Kreisumfang berechnen

Die folgenden Beispiele veranschaulichen die Berechnung des Kreisumfangs mittels Radius, Durchmesser und Kreisfläche.

Wie berechnet man aus dem Radius den Kreisumfang?

Kreis berechnen - Fläche Umfang Radius Durchmesser (17)

Gegeben sei ein Radius r von 10cm. Gesucht ist der Kreisumfang U.

Berechnung

Der Umfang U entspricht dem zweifachen Radius r multipliziert mit der Zahl Pi (π = 3,1415...), alsoU=2×r×π.

Setzt man die im Beispiel gewählten 10cm für den Radius r ein, beträgt der Umfang des KreisesU=2×10cm×π=62,83cm.

Wie berechnet man aus dem Durchmesser den Kreisumfang?

Kreis berechnen - Fläche Umfang Radius Durchmesser (18)

Gegeben sei ein Durchmesser d von 20cm. Gesucht ist der Kreisumfang U.

Berechnung

Der Umfang U entspricht dem Durchmesser d multipliziert mit der Zahl Pi (π = 3,1415...), alsoU=d×π.

Setzt man die im Beispiel gewählten 20cm für den Durchmesser d ein, beträgt der Umfang des KreisesU=20cm×π=62,83cm.

Wie berechnet man aus der Kreisfläche den Kreisumfang?

Kreis berechnen - Fläche Umfang Radius Durchmesser (19)

Gegeben sei eine Kreisfläche A von 100cm&sup2. Gesucht ist der Kreisumfang U.

Berechnung

Die allgemeine Formel für die Kreisfläche A lautetA=r²×π.Anhand dieser Formel kann nun zunächst der Radius r berechnet werden, indem die Formel nach r umgestellt wird. Der Radius rentspricht dann der Wurzel des Ergebnisses von Kreisfläche A geteilt durch Pi (π = 3,1415...), alsor=A/π.

Setzt man die im Beispiel gewählten 100cm² für die Fläche A ein, beträgt der Radius des Kreisesr=100cm/π=5,64cm.

Anhand des so berechneten Radius kann nun die allgemeine Berechnungsformel für den Umfang verwendet werden:Der Umfang U entspricht dem zweifachen Radius r multipliziert mit der Zahl Pi (π = 3,1415...), alsoU=2×r×π.

Setzt man den zuvor berechneten Wert für den Radius r ein, beträgt der Umfang des KreisesU=2×5,64cm×π=35,45cm.

4. Kreisfläche berechnen

Die folgenden Beispiele illustrieren die Berechnung der Kreisfläche anhand Radius, Durchmesser und Kreisumfang.

Wie berechnet man aus dem Radius die Kreisfläche?

Kreis berechnen - Fläche Umfang Radius Durchmesser (20)

Gegeben sei ein Radius r von 10cm. Gesucht ist die Kreisfläche A.

Berechnung

Die Kreisfläche A entspricht dem Quadrat des Radius, also r² multipliziert mit der Zahl Pi (π = 3,1415...) und somitA=r²×π.

Setzt man die im Beispiel gewählten 10cm für den Radius r ein, beträgt die Fläche des KreisesA=(10cm)²×π=314,16cm².

Wie berechnet man aus dem Durchmesser die Kreisfläche?

Kreis berechnen - Fläche Umfang Radius Durchmesser (21)

Gegeben sei ein Durchmesser d von 20cm. Gesucht ist die Kreisfläche A.

Berechnung

Die Fläche A entspricht dem halben Durchmesser zum Quadrat, also (d/2)² multipliziert mit der Zahl Pi (π = 3,1415...) und somitA=(d/2)²×π.

Setzt man die im Beispiel gewählten 20cm für den Durchmesser d ein, beträgt die Fläche des KreisesA=(20cm/2)²×π=314,16cm².

Wie berechnet man aus dem Kreisumfang die Kreisfläche?

Kreis berechnen - Fläche Umfang Radius Durchmesser (22)

Gegeben sei ein Kreisumfang U von 30cm. Gesucht ist die Kreisfläche A.

Berechnung

Die Fläche A leitet man aus dem Umfang beispielsweise her, indem man zunächst den Kreisradius r anhand des Umfangs bestimmt, denn dannkann man die gängige Formel für die Kreisfläche, nämlich A=r²×π verwenden.

Die Berechnung des Radius anhand des Umfangs wird im Beispiel zur Umrechnung vom Umfang zum Radius bereits hergeleitet undbeträgt 4,77cm.

Setzt man nun den hier anhand des im Beispiel gewählten Umfangs von 30cm berechneten Wert für den Radius r,nämlich 4,77cm ein, beträgt die Fläche des KreisesA=(4,77cm)²×π=71,62cm².

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Author: Jerrold Considine

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